Родился 1 января 1964 года в семье рабочих. После окончания средней школы учился в Казанском химико-технологическом институте (1981—1982). С 1982 по 1984 год проходил срочную службу в рядах Советской Армии в Войсках ПВО. После срочной службы поступил в Казанское высшее танковое командное училище имени Президиума Верховного Совета Татарской АССР, которое окончил в 1988 году. После окончания училища служил на должностях командира танкового взвода и танковой роты в Ленинградском военном округе и в Береговых войсках Северного флота.
В 1997 году окончил Военную академию бронетанковых войск имени Маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского. После окончания академии служил в 58-й общевойсковой армии командиром отдельного танкового батальона. С 1999 года — начальник штаба, командир 429-го отдельного мотострелкового полка 19-й мотострелковой дивизии. С 2001 по 2003 год — начальник штаба 20-й гвардейской мотострелковой Прикарпатско-Берлинской дивизии. С 2003 по 2006 год — командир 205-й отдельной мотострелковой Казачьей бригады (генерал-майор). С 2006 по 2007 год — командир 20-й гвардейской мотострелковой Прикарпатско-Берлинской дивизии.
В 2009 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации. После окончания академии — заместитель командующего 58-й армией.
С апреля 2012 по июль 2014 года — командующий 20-й гвардейской общевойсковой армией. В 2014 году присвоено воинское звание генерал-лейтенанта. С 2014 по 2017 год — начальник штаба — первый заместитель командующего войсками Восточного военного округа.
В 2017 году — начальник штаба группировки войск (сил) РФ в Сирийской Арабской Республике.
С сентября по ноябрь 2017 года — начальник Военного учебно-научного центра Сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооружённых Сил Российской Федерации».
22 ноября 2017 года указом Президента Российской Федерации назначен на должность командующего войсками Центрального военного округа. 27 ноября 2017 года генерал-лейтенанту Александру Лапину вручён штандарт командующего войсками Центрального военного округа. В феврале 2019 года присвоено очередное воинское звание генерал-полковник.
С октября 2018 по январь 2019 года — командующий группировкой войск (сил) РФ в Сирийской Арабской Республике.
В 2020 году окончил факультет переподготовки и повышения квалификации высшего командного состава Военной академии Генерального штаба.
24 июня 2022 г. соединения и воинские части группировки войск «Центр» под командованием генерал-полковника Лапина А. П. прорвав хорошо подготовленную оборону украинских войск, разгромили противостоящего противника, и развивая наступление блокировали город Лисичанск с юга.
За мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, Указом Президента Российской Федерации от 4 июля 2022 г. № 424 генерал-полковнику Лапину Александру Павловичу присвоено звание Героя Российской Федерации.